Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А (–1; 3).

Найдем угол между лучом OA и положительной полуосью OX, если известны координаты точки через которую проходит прямая А (- 1; 3).

Составим алгоритм действий

• определение луча и прямой;
• вспомним вид уравнения прямой с угловым коэффициентом;
• составим систему уравнений для нахождения коэффициентов k и b;
• решим полученную систему уравнений;
• вспомним что обозначает угловой коэффициент;
• найдем угол между лучом ОА и положительной осью ОХ.

Определение прямой. Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом

Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее.

Прямая - линия, не имеющая ни начала, ни конца.

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентов выглядит так:

y = k x + b

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Мы знаем, что прямая проходит через точки О (0; 0) и А (- 1; 3).

Составим систему уравнений, подставляя поочередно в уравнение прямой с угловым коэффициентов координаты точек О и А.

Система уравнений:

0 = k * 0 + b;

3 = - 1 * k + b.

Решаем полученную систему:

b = 0;

- k + b = 3.

Подставим во второе уравнение b = 0 и найдем значение коэффициента k.

Система:

b = 0;

- k = 3;

Система:

b = 0;

k = - 3.

Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом проходящей через заданные точки:

у = - 3х.

Найдем угол между ОА и положительной осью ОХ

Угловой коэффициент k = - 3, значит tg α = - 3, где α — угол между прямой ОА и положительной осью ОХ.

α = arctg (- 3) = - arctg 3. (т. к. функция не четная).

Ответ: - arctg 3.

Запишем уравнение прямой вида y = kx + b, которая проходит через начало координат О (0; 0) и точку  А (–1; 3).

Тогда угловой коэффициент k данной прямой будет равен тангенсу угла между данной прямой и положительной полуосью Ох.

Если прямая y = kx + b проходит через точку О(х1;у1), то справедливо следующее соотношение:
у1 = kx1 + b.

Поскольку данная прямая проходит через начало координат О (0; 0), справедливо следующее соотношение:

0 = k * 0 + b.

следовательно, b = 0.

Поскольку данная прямая проходит через точку  А (–1; 3), справедливо следующее соотношение:

3 = k * (-1).

Следовательно, k = -3 и тангенс угла между данной прямой и положительной полуосью Ох равен -3.

Поскольку данный угол лежит во второй четверти, величина этого угла равна arctg(-3).

Поскольку функция arctg х нечетная, то arctg(-3) = - arctg 3.

Ответ: искомый угол равен -arctg 3.