Высота равностороннего треугольника равна 6 см . Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого

  Решение

   Пусть треугольник ABC равносторонний, т.е. AB=BC=CA=a, и AH - его высота, проведенная из вершины A к стороне BC. По условию задачи AH = 6см.

   Рассмотрим произвольную точку M внутри треугольника ABC. Проведем перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 из этой точки к сторонам треугольника BC, CA и AB соответственно.

   Поскольку расстояние от точки до прямой определяется по перпендикуляру, опущенному из этой точки к прямой, то длины высот MA1, MB1 и MC1 как раз и будут расстояниями от точки M до сторон треугольника ABC (см. рис. http://bit.ly/2zuHhXB).

 

  Площадь треугольника ABC

   Рассмотрим треугольники ABM, BCM, CAM и вычислим их площади. Так как перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 являются высотами для этих треугольников, то для их площадей получим выражения:

• S(ABM) = 1/2*AB*MC1;
• S(BCM) = 1/2*BC*MA1;
• S(CAM) = 1/2*CA*MB1.

   Поскольку треугольник ABC разделен на три треугольника (ABM, BCM и CAM), то его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
      S(ABC) = S(ABM) + S(BCM) + S(CAM).

   Подставив в это уравнение значения для S(ABM), S(BCM), S(CAM) и выполнив простые преобразования, получим:

      S(ABC) = 1/2*AB*MC1 + 1/2*BC*MA1 + 1/2*CA*MB1;

      S(ABC) = 1/2*a*MC1 + 1/2*a*MA1 + 1/2*a*MB1;

      S(ABC) = 1/2*a (MC1 + MA1 + MB1)   (1).

 

  Составление и решение уравнения

   Но с другой стороны, площадь треугольника ABC равна:

      S(ABC) = 1/2*BC*AH;

      S(ABC) = 1/2*a*AH  (2).

   Сравнивая равенства (1) и (2), получим:

      1/2*a*(MC1 + MA1 + MB1) = 1/2*a*AH.

   Отсюда:

     MC1 + MA1 + MB1 = AH = 6(см).

 

   Ответ: 6см.

 

M — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC. Отрезки МА, МВ, МС разбивают треугольник АВС на три треугольника. Расстояния от точки М до сторон АВ, ВС, АС: MQ, MO, MP. Для треугольников АМС, АМВ, ВСМ эти отрезки будут высотами. Площадь треугольника ABC как сумма площадей трех треугольников с равными основаниями a: S = (АВ * МО) / 2 + (BC * MP) / 2 + (AC * MQ) = = (a * MO) / 2 + (a * MP) / 2 +(a * MQ) / 2 = = (a * (MO+MP+MQ)) / 2. Решение: http://bit.ly/2wFaWL6. Ответ: 6 см.