Сколько существует чисел,кратны 8 и не превосходящих 300? Назовите самое большое такое число.

• представим множество натуральных чисел, кратных 8 в виде последовательности;
• докажем, что данная последовательность натуральных чисел является возрастающей;
• найдем количество членов данной последовательности, меньших чем 300.

Решение задачи.

Представим множество натуральных чисел, кратных 8 в виде последовательности

Каждое натуральное число, кратное 8 можно представить в виде 8n, где n — некоторое целое число.

Тогда множество натуральных чисел, кратных 8 можно представить в виде последовательности  а_n = 8n.

Докажем, что данная последовательность натуральных чисел является возрастающей

Вычислим разность n+1-го и n-й членов данной последовательности:

а_n+1 - а_n = 8 * (n + 1) - 8n = 8n + 8 - 8n = 8.

Следовательно, а_n+1 - а_n > 0, что означает, что данная последовательность натуральных чисел является возрастающей.

Найдем количество членов данной последовательности, меньших чем 300

Решив в целых числах неравенство 8n < 300, найдем номер наибольшего члена данной последовательности, меньшего чем 300.

Решаем данное неравенство. Разделим обе части неравенства на 8:

8n / 8 < 300 / 8;

n  < 300/8;

n  < 37.5.

Значение n = 37 является наибольшим целым решение данного неравенства.

Поскольку данная последовательность является возрастающей, то члены этой последовательности с первого по 37-й будут меньшими, чем 300, а все члены этой последовательности, начиная с 38-го, будут большими, чем 300.

Следовательно, существуют 37 членов данной последовательности, меньших чем 300 и наибольший из них 37-й член равен:

а₃₇ = 8 * 37 = 296.

Ответ: всего существует 37 чисел, кратных 8 и не превосходящих 300, наибольшее такое число это 296.