Правильно ли записано предложение? Elaine is Clare`s and Jay`s mum.

Это предложение записано неправильно, ошибка в использовании притяжательного падежа (posessive case). Если у двух существительных, которые связаны между собой словом and, общий определитель (в этом случае mum — мама, это мама и Clare, и Jay одновременно), то 's добавляется к последнему слову. Поэтому правильный вариант такой: Elaine is Clare and Jay`s mum.