Катет прямоугольного треугольника равен 9 , а гипотенуза равна 11 найдите площадь

Нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника АВС, если известен длина катета АС = 9 ед., а гипотенуза АВ = 11 ед.

Составим алгоритм действий для решения задачи

• вспомним определение прямоугольного треугольника;
• вспомним теорему Пифагора;
• найдем длину второго катета, используя теорему Пифагора;
• вспомним формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника;
• найдем площадь заданного треугольника.

Определение прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора

Давайте вспомним определение прямоугольного треугольника и нарисуем рисунок к задаче.

http://bit.ly/2z9aIdT. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90 градусам.

Сторона, противоположная прямому углу называется гипотенуза, а стороны прилежащие к прямому углу называются катетами.

Нам известна длина одного из катетов и гипотенузы. Чтобы найти длину второго катета вспомним теорему Пифагора.

Она звучит так: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c^2 = a^2 + b^2.

Находим длину второго катета

Используя теорему Пифагора получим равенство:

11^2 = 9^2 + x^2;

x^2 = 11^2 - 9^2;

x^2 = 121 - 81 = 40;

x = √40 = √(2^2 * 10) = 2√10 ед. — длина катета ВС.

Найдем площадь прямоугольного треугольника АВС

Вспомним формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов:

S = 1/2 * AC * BC;

Подставляем в формулу вместо АС = 9 и вместо ВС = 2√10:

S = 1/2 * 9 * 2√10 = 9√10 кв. ед.

Ответ: S = 9√10 кв. ед.

По условию дан △ABC: ∠C = 90˚, AC = 9 и BC — катеты, AB = 11 — гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла). Площадь треугольника находится как половина произведения его стороны и высоты, проведенной к этой стороне. Так как в прямоугольном треугольнике катеты являются его высотами, то его площадь находится как половина произведения его катетов, то есть: S = (a * b)/2, где a и b — катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора найдем длину катета BC: BC = √(AB² – AC²) = √(11² – 9²) = √(121 – 81) = √40 = √(4 * 10) = 2√10. Найдем площадь △ABC: S = (AC * BC)/2 = (9 * 2√10)/2 = 18√10/2 = 9√10. Ответ: S = 9√10.