высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD образует со стороной АВ угол 30 градусов, АМ=4см. Найдите длину диагонали

Напишем все полученные внутри ромба углы. < BAD = 60, < ABM = 30, < BCD = < BAD = 60. < DBC = < BDC = (180 - 60) / 2 = 120 / 2 = 60.
Такие вычисления сделали, потому что треугольники BCD и ABD равносторонние, так как AB = AD = BC = CD , как стороны ромба а острые углы между сторонами равны 60 по условию. 

Сначала найдём сторону ромба : AB = DC = CD = AD = AM * 2 = 4 * 2 = 8 (см), как гипотенуза в треугольнике с катетом против угла 30 градусов.
Но из треугольника BCD видно, что все стороны его равны, как стороны в равностороннем треугольнике.Значит, BD = BC = CD = 8 (см).