Выражение "пуститься наутек" относится к фразеологическим оборотам русского языка. Рассмотрим, откуда оно появилось и как может использоваться.
Если слово "пуститься" знакомо каждому, то слово "наутек" используется сейчас очень редко. Оно произошло от глагола "тикать". Раньше это слово не имело никакого отношения к часам, а обладало значением 'убегать'. До сих пор оно используется в этом смысле в некоторых славянских языках (например, в украинском или болгарском). Таким образом, полностью фразеологический оборот имеет следующее значение: "быстро убегать", "спасаться бегством", "быстро покидать опасное место".
Форма "наутек" является наречием, произведенным от глагола. Данное слова не изменяемо, не образует формы падежей, склонений, спряжений и т.д. и используется, в основном, только в составе фразеологического оборота.
Приведем несколько примеров употребления фразеологизма в речи:
Из этих трех случаев использования фразы можно сделать вывод, что данное выражение в предложении является сказуемым. Это связано с тем, что основная синтаксическая роль в нем принадлежит глаголу "пуститься". При этом двумя чертами будут подчеркиваться оба компонента сразу, поскольку по правилам русского языка фразеологизмы всегда являются одним членом предложения.
Изменение выражения также будет происходить по глагольному принципу. Например, оно может употребляться в разных временах (сравним: пустился наутек, пустишься наутек, пускаюсь наутек). Допустимо использование также и форм разных лиц и чисел (сравним: пускается наутек, пускаются наутек, пускаюсь наутек). В некоторых предложениях вместо глагола может использоваться деепричастие, и тогда фразеологизм приобретает вид "пускаясь наутек". Например:
Пускаясь наутек, он позабыл даже поблагодарить нас за помощь.